Euler Product

释义 Definition

欧拉乘积：解析数论中的一个重要公式，把某些狄利克雷级数（最典型的是黎曼ζ函数）表示为对所有素数的无穷乘积，从而把“级数”与“素数的分布”联系起来。最常见形式是（在收敛区域内）： [ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{p\ \text{prime}}\frac{1}{1-p^{-s}} ] 它体现了“整数的唯一分解”如何导出与素数相关的乘积结构。除这一常见含义外，在更一般的情境中也可指各种 L-函数 的类似乘积展开。

发音 Pronunciation

/ˈɔɪlər ˈprɑːdʌkt/（亦常见 /ˈjuːlər ˈprɑːdʌkt/）

例句 Examples

The Euler product shows a deep link between the zeta function and prime numbers.
欧拉乘积揭示了黎曼ζ函数与素数之间的深刻联系。

Using the Euler product, one can translate questions about sums over integers into questions about products over primes, which is central in analytic number theory.
借助欧拉乘积，人们可以把关于整数求和的问题转化为关于素数乘积的问题，这在解析数论中非常核心。

词源 Etymology

“Euler”来自瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的姓氏；“product”在数学里指“乘积”。之所以得名，是因为欧拉在研究级数与素数之间的关系时，系统地使用并推广了这种“按素数分解的无穷乘积”思想；其核心依托于整数的唯一因子分解。

相关词 Related Words

• Zeta Function
• Prime Number
• Dirichlet Series
• L-Function
• Analytic Number Theory
• Riemann Hypothesis
• Unique Factorization

文学与著作中的用例 Literary Works

• Bernhard Riemann：《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》（1859）——讨论ζ函数与素数分布的经典论文，欧拉乘积是其中关键背景与工具。
• G. H. Hardy & E. M. Wright：《An Introduction to the Theory of Numbers》——在介绍ζ函数与素数相关章节中讲解欧拉乘积。
• Tom M. Apostol：《Introduction to Analytic Number Theory》——系统呈现狄利克雷级数、ζ函数及其欧拉乘积展开。
• Leonhard Euler：关于无穷级数与素数性质的相关论文与著作（18世纪）——欧拉乘积思想的源头与早期发展。